Hieroglifáktól a rakétáig: a számok lenyűgöző utazása

A számok mindenhol ott vannak. A számolás művészete az emberi kultúra egyik legalapvetőbb képessége, amivel ősidők óta rendelkezünk. Mi miatt tudunk fizetni a boltban pontos összeget „sok” helyett, és mi miatt száll fel (több-kevesebb sikerrel) Elon Musk rakétája? Minden az emberiség kezdetére vezethető vissza!

Legelőször, képzeljük magunkat az ősember korába! Mammutot vadászunk a törzsünknek, mert valamiből meg kell élnünk. Hatan keresünk élelmet, a többiek egy barlangban várakoznak. A törzsfőnök azt mondta, elég nagy állatot hozzunk. Igen ám, de az mekkora? A „nagy” ez esetben jelenthet három métert is, de akár egy métert is. Ez a probléma sarkallta arra az embert, hogy létrejöjjenek a számok.

Kezdetben ujjunkkal vagy kavicsokkal számoltunk, ezt hívjuk latin eredetű szóval calculusnak, avagy kaviccsal való számolásnak. Az első számrendszerek Kr.e. 3000 körül jöttek létre, és kezdetben nagyon más jellegűek voltak, mint a miénk.

Hieroglifikus számírás

A számok legelső ábrázolása (a kavicsokon túl) a hieroglif írás volt. Ilyenek voltak az egyiptomi, krétai, azték és római számok. Ezekben a számrendszerekben a számok úgynevezett csomószámokra épültek, mint az 1, 10, 100, 1000, stb., ezek mellé kerültek újabb csomószámok valamelyik irányba.

A római számrendszerben például (amelyet iskolában is tanulunk alsóban) csomószámnak számít az 1= I, az 5 = V, a 10 = X, az 50 = L, a 100 = C (lat. centum = száz), és az 1000 = M (lat. mille = ezer). Láthatjuk, hogy minden számot az ábécé valamely betűje jelez. A számalkotás módja additív, tehát ha a MMXXIV számot szeretnénk kiolvasni, a legnagyobb csomószámot kell megkeresnünk (ez esetben: M = 1000), ez kétszer szerepel (2 * 1000 = 2000), ehhez hozzáadjuk a második legnagyobb csomószámot, majd a harmadikat, stb., a végén pedig kijön az eredmény: 2024.

Az egyiptomi számírás nagyon hasonlóan gondolkodik, ott is fontos szerepet játszanak a csomószámok, amelyek így néznek ki:

1	10	100	1000	10 000	100 000	1 millió vagy sok

Ha például azt akarták írni: 2024 – így tették:

Jobbról balra kellett olvasni a számot, azonban ez idővel megváltozott. A felfedezőjéről elnevezett Rhind-papirusz volt az egyik olyan emlékanyag, amelyből következtetéseket vonhattunk le az egyiptomi írás kapcsán. Feltehetően gyakorlati matematikafeladatokat tartalmazott és Kr.e. 1550 körül készült.

Alfabetikus számírás

Ahogy a hieroglifikus, így az alfabetikus számírás is additív. Az alfabetikus számrendszek – ahogy a neve is sugallja – az ábécé betűit használja az egyes számok leírásához. Ilyen volt például a görög számírás, ahol az ábécé első kilenc számjegye az 1-9 számjegyeket jelentette, a második kilenc a 10-et, 20-at, 30-at, stb., az utolsó kilenc a százasokat. Ezeket tették egymás mellé, tehát ha azt akarták írni: 642, egymás mellé illesztették a 600-at jelentő χ, a negyvenet jelentő μ, és a kettőt jelentő β szimbólumokat. Hogy a szövegtől elkülönítsék a számokat, a betűk fölé kis vonalat húztak.

Ha részletesebben érdekel, hogy működnek az ógörög számok, ez az angol nyelvű Wikipédia-oldal hasznos lehet.

Az additív számírás hátránya

Bár a fentebb említett additív számírás már modern civilizációra utal, ugyanakkor a 10 minden hatványának külön szimbólum kell. Ezért végtelen jelet kell használnunk, ami pedig nincsen, így maradunk annál, hogy legfeljebb néhány ezerig vagy egymillióig számolunk. Igen ám, de mit mondunk, ha azt kérdezi valaki: hány ember él a Földön? Egyszer millió meg még egyszer millió, meg… néhány ezerszer el kéne ismételnünk, és közlése vagy észben tartása lehetetlen. Erre találták ki – például – a tízes számrendszert.

A tízes számrendszer megjelenése

A tízes számrendszer – melyet mi is használunk – helyiértékes ábrázolást használ, ami azt jelenti, hogy jobról balra minden számjegy tízszer annyit ér, mint az előző (jobbra álló). Vegyük például a 2024-et! Ez a szám az alábbi módon írható fel: 2 ⋅ 1000 + 0 ⋅ 100 + 2 ⋅10 + 4 ⋅ 1. Ahogy látjuk a tízes számrendszer azért számrendszer, mert jobbról balra egyre nagyobb kitevőjű 10-hatványok szerepelnek helyiértékekként.

Fontos tudni, hogy a számrendszer és a számírás nem ugyanaz. Vannak más kultúrák is, amelyek tízes számrendszert használnak, tehát valamelyik irányból a szám helyiértéke 10-hatványok, de máshogyan ábrázolják a számokat. Mi az arab számokat használjuk, melyek Indiából jöttek az arabok közvetítésével a X. században. A legkorábbi fennmaradt európai kézirat egy 976-os spanyol dokumentum, amely már arab számírást alkalmaz.

Tizedestörtek, negatív számok, nulla

Az egész számok sokkal hamarabb megjelentek, mint a törtrészek. Már javában voltak matematikai elméletek, mikor feldedezték a tizedes törteket. Ugyanis – még ha furcsán is hangzik – a görögök Kr.u. I-II. században kezdték el alkalmazni a törteket, azonban hivatalosan csak a XIV. században dolgozták ki részletesen. Bár már a híres ókori matematikus, Püthagorasz is ismerte az irraccionális számokat (többek közt a szemtelen √2-t), nem fogadta el létezésüket, sőt, a legenda szerint vízbe fojtotta az egyik tanítványát, aki az irraccionális számokkal kapcsolatban tett felfedezést.

A negatív számok és a nulla fogalma is később jelent meg, feltehetően Indiában a 7. században alkalmazták először. Az idők során a számolás egyre fejlődött, ezért lehetséges, hogy ma ilyen magasan tudjuk művelni (gondoljunk a mesterséges intelligenciára).

Szóval mi a helyzet a rakétával?

Mint fentebb írtam, számok nélkül nem élet az élet. Rendben, lehet, hogy ez picit túlzás, rakéta nélkül is meglennénk. Ugyanakkor sok mindenhez használunk matematikát. Hogyan tudnánk mérni, mekkora a klímaváltozás mértéke, ha nem tudnánk számszerűsíteni az adatainkat? Sehogy. Hogyan vagyunk képesek (részint) betartani a sebességhatárt, ha csak annyit látnánk „sokkal megyünk”? Szintén sehogy. Nem lennének fizikusok, klímakutatók, könyvelők, nem tudná mondani a tanár az iskolában: „nyissátok ki a tankönyvet a 238. oldalon”, ha nem léteznének számok. Nem lenne számítógép. ChatGPT sem.

Összefoglalva:

Szükségünk van a számokra!