A matematika egyik, talán legnehezebb problémája a nagy Fermat-sejtés, melyet Pierre de Fermat híres francia matematikus jegyzett fel egy könyv margójára 1637-ben. „Igazán csodálatos bizonyítást találtam erre a tételre, de ez a margó túl keskeny, semhogy ideírhatnám” – írta a papiruszra Fermat, s onnantól még 358 évig megoldatlan maradt.
A fent említett tétel alapjáraton véve elég egyszerű: xn + yn ≠ zn, feltéve ha n > 2 és x, y, z, illetve n egész számok. Pierre de Fermat (ejtsd: pier de ferma) francia matematikus írta fel ezt a képletet Diophantosz Aritmetika című könyve margójára. 358 év után bizonyította be a képlet helyességét Andrew Wiles, a University of Princeton professzora.
Fermat élete – kiadják a zseni számításait
Fermat kortársai zseninek tartották őt, és bár nem volt hivatásos matematikus, annak tekintették. Érdekesség, hogy Fermat először politikusnak tanult, és 1631-ben a város tanácsosa lett. Ő hozzá futottak be a kérvények a király előtt. Bár parlamenti tag volt, igyekezett kimaradni a vitákból. Szabadidejét a matematikának szentelte. Titokban matematikai tételeket alkotott meg, üres óráiban pedig azzal szórakoztatta magát, hogy ezeket a képleteket küldte el nagy matematikusoknak, de a bizonyítást nem mondta el. Szitkozódtak is érte rendesen.
Fermat 1637-ben alkotta meg a híres képletet, az xn + yn ≠ zn-et. Azt állította, ha x-et n-re emeljük és hozzáadjuk az y-t n-re emelve, akkor az lehetetlen, hogy zn legyen. Próbáljuk csak meg: mondjuk számoljuk ki ezt: 33 + 43. Ez egyenlő 27 + 64-gyel, ami 92. És ez nem köbszám: nem találunk olyan számot, amelyet, ha megszorozunk még háromszor önmagával 92-t kapunk. Nos, Fermat azt állította, hogy ez akármilyen x-re, y-ra, z-re és n-re igaz, amennyiben ezek pozitív egész számok és n nagyobb, mint 2.
Fermat 1665. január 12-én meghalt, öt évvel később egyik fia, Clément-Samuel kiadta Diophantosz Aritmetikáját, Fermat jegyzeteivel ellátva. Ez nagyon sokáig kísértette a matematikusokat, rengetegszer próbálták megoldani. Ez állt azon a sokat emlegetett oldalon:
Cubem autem in duos cubos, quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum poteftatem in duos eiufdem nominis fas eft diuidere cuius rei demonftrationem mirabilem fane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
Előrelépések a bizonyításban
Leonhard Euler [ejtsd: leonhard ájler], a 18. század hatalmas géniusza bebizonyította, hogy n = 3 esetkor tényleg nincs megoldás. Tehát ha a számokat a képletben 3-ra emeljük, nem igaz az állítás, ahogy Fermat mondta. Ilyenek például az alábbi esetek:
23 + 33 ≠ x3 23 + 53 ≠ x3 33 + 93 ≠ x3 ... Soha nem létezik olyan x szám, amit ha háromra emelnénk, a bal oldali számítást kapnánk.
Euler 1742-ben megkérte barátját, hogy kutassa át Fermat házát, hátha megtalálja a nagy bizonyítást, amiről a lap margója árulkodott. De sehol semmit sem találtak.
Fermat legalább annyit elárult – bizonyítással mellékelve! –, hogy x4+y4 ≠ z4. Nagyszerű, de sajnos az, hogy tudjuk, hogy n=3-ra és n=4-re igaz, amit Fermat mondott, az nem jelenti azt, hogy n=5-re, n=6-ra, n=8-ra, …, n=2233243432423-ra igaz-e. Az olvasóban most felmerülhet a kérdés, hogy mégis miért nem hiszünk ennek a Pierre de Fermat-nak nevezett személynek, aki elismertnek számított korában, és ekkorra már ezen az egyen kívül minden képletét bebizonyították? (Innen ered az angol neve, Fermat’s last theorem, vagyis Fermat utolsó tétele, mert ezt bizonyították be utoljára.) A válasz az, hogy a többi matematikusnak ellenőriznie kell őt, hiszen ha kiderül, hogy az elmélete nem jó, romba dőlhet minden más állítás, amit később arra építenek.
Sophie Germain 18-19. században élt női matematikus továbbvitte a bizonyítást még több esetre, amikor n Germain-prím. Ezek olyan prímszámok, melyeket ha p-vel jelölünk, akkor 2p + 1 is prímszám. Ilyen például 5, hiszen 2*5 + 1 = 11 is prímszám. Germain korában nem támogatták a női matematikusokat, így álnéven dolgozott. Mikor beiratkozott a párizsi Műszaki Egyetemre, Antonie-Auguste Le Blac néven küldte be megoldásait levelezés útján. Le Blanc egy régebbi diák volt, aki már elköltözött Párizsból, s a professzorok azt hitték folytatja a tanulást az egyetemen. Minden rendben volt így, addig a pillanatig, mikor a professzor kérvényezte találkozását Le Blanc úrral, mert meglepődött a nem túl tehetséges tanítvány váratlan fejlődésén. Ekkor derült ki, hogy Le Blanc valójában Sophie Germain, ennek ellenére tovább folytathatta tanulmányait. Germain Gaussszal is levelezett a Fermat-sejtésről, szintén álnéven írva alá.
Gabriel Lamé francia matematikus 1837-ben bebizonyította az n = 7 esetet.
Ernst Kummer német matematikus pedig 1843-ban azt állította, hogy bebizonyította a sejtést. Nos, ahogy gondoljuk, nem így lett. Bizonyításában hibát találtak. Azonban Kummer bebizonyította az úgynevezett reguláris prímekre a tételt, mikor n reguláris prím. Azt, hogy mit jelent a reguláris prímszám, abba most nem megyünk bele, mert az nagyon bonyolult.
Díjak, kitűzések, amelyeket ígértek a Fermat-sejtés megoldójának
Sophie Germain után az akadémiák hatalmas díjakat ajánlottak annak, aki megoldja a Fermat-sejtést. 1847-ben több matematikus váltig állította, hogy neki bizony sikerült, vagy legalábbis majdnem kész a bizonyítás. Köztük volt Gabriel Lamé és Augustin-Louis Cauchy. Miután publikálták cikküket, Kummer megpuccsolta állításaikat, így a tétel ismét megoldásra várt.
Dr. Paul Wolfskehl (született: 1856-ban) egy gazdag ember volt, s mikor este öngyilkosságra készült – mert egy nő visszautasította kérését – mivel még volt ideje éjfélig, elhatározta, hogy könyvtárba megy. Ott ismerkedett meg a Fermat-tétellel, s végül szerencsére nem lőtte le magát. 1908-ban derült ki halála után, hogy végrendeletében kérvényezi, hogy 100 000 márkát adjanak vagyonából annak, aki ténylegesen bebizonyítja a Fermat-sejtést.
Wiles félelmei: vajon hiábavaló munkát folytat?
Andrew Wiles 1953-ban született Cambridge-ben (Egyesült Királyság), és 10 éves korában bukkant rá a Pierre de Fermat tételére. „Imádtam feladatokat megoldani az iskolában. Hazavittem őket, és újakat találtam ki. De a legjobb feladatot a helyi könyvtárban találtam, éppen a matematikai könyvek között böngészve. Ez egy bizonyos problémáról szólt – Fermat utolsó tételéről” – meséli a NOVA-nak adott interjújában. – „Tizenéves koromban próbáltam úgy megoldani a problémát, ahogyan szerintem Fermat is tette volna. Úgy véltem, hogy valószínűleg nem tudott sokkal többet matematikából, mint amit én tinédzserként.” Próbálta bebizonyítani gyerekként, de nem ment neki. Mikor felnőtt lett és kutatóként kezdett el dolgozni, félretette a problémát.
1986-ban Ken Ribet matematikus bebizonyította, hogy a nagy Fermat-tétel összefüggésben áll a Taniyama-Shimura-sejtéssel, miszerint minden elliptikus görbe moduláris. (Ez olyan bonyolult fogalom, hogy erről itt nem lesz szó.) Ribet azt állította, hogy ha igaz a Taniyama-Shimura-sejtés, igaz a Fermat-sejtés is.
Ekkor döntött úgy Wiles, hogy visszatér a Fermat-sejtéshez. Mert ha be tudja bizonyítani, hogy minden elliptikus görbe moduláris, az egyben igazolná a Fermat-sejtést! Ez azt jelentené, hogy teljesül gyermekkori vágya! Éveken keresztül egész álló nap titokban dolgozott ezen a problémán, a Fermat-sejtés megszállottja lett.
1988. február 26-odikán Yoichi Miyaoka japán matematikus váratlanul előállt a Fermat-tétel bizonyításával, s nemsokára publikálta is. Képzelhetjük, milyen rémálmok györörhették Wilest! Csak akkor lélegezhetett fel, amikor kiderült, hibás volt Miyaoka elmélete.
Megoldotta! Vagy mégsem?
Aztán végre, a hét év fáradságos munka meghozta a gyümölcsét. 1993. májusában meglett az eredmény! Rájött, hogyan bizonyíthatná be, hogy minden elliptikus görbe moduláris. A Cambridge-i Egyetem Isaac Newton Institute-jában jó alkalom kínálkozott előadásra, s így ott adta elő az évszázad talán egyik legjelentősebb matematikai szemináriumát, mely három napig tartott. 200 matematikus gyűlt össze, feszülten hallgatták prezentációját, melynek csak végén derült ki – az is csak amolyan mellékesen –, hogy ebből az következik, hogy igaz Fermat utolsó tétele.
Mindenki örült, meginterjúvolták az újságok, a CNN TV. Csakhogy még le kellett írni a bizonyítást, és beadni egy folyóiratnak. A 100 oldalas dokumentumot hat részre osztották a bírák, az egyik részt Nick Katz ellenőrizte. Néhány héttel később jött az e-mail: hibát talált a bizonyításban. A gond a harmadik fejezetben volt. Wiles azt remélte, hogy egy kis gondolkodással helyrehozza a hibát, de a probléma egyre végzetesebbnek tűnt. Hat reményvesztett hónap után Wiles úgy döntött, meghívja a munkhelyére, a Princeton Egyetemre a cambridge-i Richard Taylor matematikust, hogy dolgozzanak együtt.
1994. április elején azonban egy váratlan hír kapott szárnyra: Noam Elkies, a Harvard Professzora ellenpéldát talált a Fermat-sejtésre, tehát se a Fermat-sejtés, se a Taniyama-Shimura-sejtés nem igaz! Nem sokkal később kiderült, hogy április elseji tréfa volt csupán, így a bizonyítás keresése tovább folytatódott.
A bizonyítás elkészült!
1994 végére Richard Taylor segítségével elkészült a teljes bizonyítás, 1995 májusára már elfogadottnak nyílvánították. Összesen 129 oldalt tesz ki a két cikk, a hosszabb (109 oldalas) első oldala így néz ki:
Miután megoldotta a tételt, így nyilatkozott a NOVA-nak: „Van némi szomorúságérzetem, de ugyanakkor itt van ez a hatalmas sikerélmény is. A szabadság érzése is megvan. Annyira megszállottja voltam ennek a problémának, hogy állandóan ezen gondolkodtam – amikor reggel felébredtem, amikor este lefeküdtem aludni -, és ez nyolc éven keresztül így ment.” Nagyon nagy stressz mehetett le Wiles válláról, de hatalmas előrelépést tett a számelméletben.
Ha érdekel a téma, és többet meg akarsz tudni a Fermat-sejtés kalandos történetéről, ajánlom Simon Singh A nagy Fermat-sejtés című könyvét.
Hivatkozások
A cikk az alábbi források alapján készült el:
Singh, Simon. A Nagy Fermat-sejtés. 4th ed., vol. 1, Park Könyvkiadó, 1999.
Brown, Amanda, „History of Fermat’s Last Theorem” (1996). Undergraduate Honors Capstone Projects. 298. https://digitalcommons.usu.edu/honors/298
„Andrew Wiles on Solving Fermat.” NOVA, www.pbs.org/wgbh/nova/article/andrew-wiles-fermat/. Accessed 15 Oct. 2023.
Kolata, G. (1993, June 24). At Last, Shout of ‘Eureka!’ In Age-Old Math Mystery. New York Times, 1. https://www.nytimes.com/1993/06/24/us/at-last-shout-of-eureka-in-age-old-math-mystery.html
Andrew Wiles 109 oldalas cikkének első oldala. Taylor, Richard, and Andrew Wiles. “Ring-Theoretic Properties of Certain Hecke Algebras.” Annals of Mathematics, vol. 141, no. 3, 1995, pp. 553–72. JSTOR, https://doi.org/10.2307/2118560. Accessed 16 Oct. 2023.
